12를 2×2×3으로 소인수분해했던 것처럼, 복잡한 식도 곱셈식으로 쪼개면 그 안에 숨어 있던 성질과 답이 드러납니다. 인수분해 → 이차방정식 → 판별식 순서로 오늘 한 번에 정리해봅시다.
숫자를 소인수분해했던 경험을 그대로 식에 옮겨오면 됩니다. 곱셈식을 풀어 헤치는 것이 전개, 다시 곱셈식으로 묶는 것이 인수분해예요.
곱셈식을 분배법칙으로 낱낱이 풀어 다항식(합·차의 꼴)으로 만드는 과정입니다.
다항식을 두 개 이상의 다항식(인수)의 곱으로 바꾸는, 전개의 역과정입니다.
인수분해를 하면 이차방정식의 해(근)를 빠르게 찾을 수 있고, 이차함수 그래프가 x축과 만나는 점도 바로 알 수 있습니다. 실제로 "직사각형 텃밭의 넓이가 되도록 변의 길이를 구하라", "공을 던졌을 때 몇 초 후 땅에 떨어지는가"처럼 넓이·시간·개수 문제를 방정식으로 세운 뒤, 인수분해로 답을 구하는 것이 이 단원의 최종 목표예요.
문제를 보자마자 "어떤 패턴인지" 알아채는 것이 핵심입니다. 아래 4가지 패턴을 눈에 익혀두세요.
직사각형의 넓이는 "가로 × 세로" 이자 동시에 "네 조각 넓이의 합"입니다. 슬라이더를 움직여 m, n을 바꾸며 공식이 왜 성립하는지 직접 확인해보세요.
일차방정식(ax+b=0)에서 한 단계 나아가, 미지수의 최고차항이 2차인 방정식입니다.
이차방정식은 보통 근이 최대 2개까지 존재합니다. 이 근을 찾는 것이 이 단원의 목표예요.
예를 들어 가로가 세로보다 3cm 긴 직사각형의 넓이가 40cm²일 때, 세로를 x라 하면 x(x+3)=40 → 이차방정식이 만들어집니다. 넓이·시간·개수 문제를 식으로 세우면 자연스럽게 이차방정식이 등장해요.
어떤 상황에 어떤 방법을 쓸지 판단하는 순서를 익혀두면 문제풀이 속도가 확 빨라집니다.
① 먼저 공통인수가 있는지 본다 → ② 인수분해 공식이 눈에 보이면 인수분해로 바로 푼다 → ③ 인수분해가 잘 안 보이면 주저 없이 근의 공식을 쓴다. 완전제곱식은 근의 공식이 "왜" 성립하는지 이해하기 위한 원리 학습용으로 알아두면 충분합니다.
슬라이더로 a, b, c를 직접 바꿔보며, 근의 공식 속 √ 안의 값(판별식)이 근의 개수를 어떻게 결정하는지 그래프로 확인해보세요.
문제를 눌러 풀이를 펼쳐보세요. 스스로 먼저 풀고 확인하는 걸 추천합니다.
시험 직전 이 페이지 한 장만 보면 되도록, 필수 암기 공식과 문제풀이용 개념만 압축했습니다. 인쇄해서 단권화 노트에 붙여 누적하세요.
| 패턴 | 공식 |
|---|---|
| 공통인수 | ma+mb=m(a+b) |
| 완전제곱식 | a²±2ab+b²=(a±b)² |
| 합차공식 | a²-b²=(a+b)(a-b) |
| 합과 곱 | x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) |
| 개념 | 공식 |
|---|---|
| 이차방정식 | ax²+bx+c=0 (a≠0) |
| 근의 공식 | x=(-b±√(b²-4ac))/2a |
| 판별식 | D=b²-4ac |
| 근의 개수 | D>0:2개 / D=0:1개 / D<0:0개 |