농구공의 궤적, 분수의 물줄기, 다리의 아치. 우리 주변의 곡선은 대부분 포물선입니다. 오늘은 그 곡선을 식으로 정확히 표현하고 다루는 법을 배웁니다.
지난 단원에서 배운 일차함수의 최고차항 차수를 한 단계만 올리면 이차함수가 됩니다. 그래프의 모양이 완전히 달라지는 것을 확인해봅시다.
그래프는 곧게 뻗은 직선입니다. x가 일정하게 늘 때 y도 일정하게 변합니다(기울기 일정).
그래프는 부드럽게 휘어진 곡선, 포물선입니다. x가 일정하게 늘어도 y의 변화량은 계속 달라집니다.
물체를 던지면 중력 때문에 포물선 경로를 그립니다. 스포츠(슛 각도), 건축(아치·현수교), 경제(이윤이 최대가 되는 가격) 등 "어떤 값이 최대·최소가 되는 지점"을 찾는 모든 문제의 뒤에는 이차함수가 있습니다. 이 단원은 그 곡선을 식으로 다루는 방법을 배우는 것입니다.
모든 이차함수 그래프의 뼈대는 y=ax² 입니다. a의 부호와 크기만으로 그래프의 모양이 결정됩니다.
이 형태만 보면 그래프를 그리지 않고도 꼭짓점과 축을 바로 알 수 있습니다. 이차함수에서 가장 자주 쓰는 식입니다.
꼭짓점의 좌표는 항상 (p, q)입니다. 부호에 주의하세요 — 식 안에서는 (x−p) 이므로, 식이 (x+3)이면 p = −3 입니다.
포물선은 꼭짓점을 지나는 세로선을 기준으로 완벽하게 대칭입니다. 이 선이 축의 방정식 x = p 입니다.
슬라이더로 a, p, q를 직접 바꿔보면서 포물선이 어떻게 움직이고 변형되는지 확인해보세요.
교과서·시험에는 표준형으로 나오는 경우가 많습니다. 완전제곱식으로 바꾸는 절차를 익혀두면 어떤 식이 나와도 꼭짓점을 바로 구할 수 있습니다.
계수가 1이 아닐 때는 반드시 x²과 x항을 먼저 a로 묶은 뒤에 괄호 안에서 완전제곱식을 만들어야 합니다. 이 순서를 건너뛰는 것이 가장 흔한 실수예요.
지난 시간에 배운 판별식이 여기서 다시 등장합니다. 이차함수 y=ax²+bx+c 의 그래프와 x축의 교점은, 이차방정식 ax²+bx+c=0의 실근과 정확히 같습니다.
꼭짓점형으로 바꾸기만 하면 최댓값·최솟값은 q값을 읽는 것으로 끝입니다.
x = p 일 때 최솟값 q를 가집니다. 최댓값은 없습니다(그래프가 위로 계속 열려 있으므로).
x = p 일 때 최댓값 q를 가집니다. 최솟값은 없습니다.
"둘레가 정해진 직사각형의 넓이를 최대로 만들려면?", "가격을 얼마로 정해야 이윤이 최대가 될까?" 같은 문제는 모두 이차함수의 식을 세운 뒤 완전제곱식으로 바꿔 최댓값·최솟값을 구하는 문제입니다. 실생활 최적화 문제의 핵심 도구예요.
문제를 눌러 풀이를 펼쳐보세요. 스스로 먼저 풀고 확인하는 걸 추천합니다.
시험 직전 이 페이지 한 장만 보면 되도록, 필수 암기 공식과 문제풀이용 개념만 압축했습니다. 인쇄해서 단권화 노트에 붙여 누적하세요.
| 형태 | 공식 |
|---|---|
| 표준형 | y=ax²+bx+c (a≠0) |
| 꼭짓점형 | y=a(x-p)²+q |
| 꼭짓점 | (p, q) |
| 축의 방정식 | x = p |
| 조건 | 결과 |
|---|---|
| a>0 | 아래로 볼록, 최솟값 q |
| a<0 | 위로 볼록, 최댓값 q |
| |a| 클수록 | 폭 좁음(가팔라짐) |
| D=b²-4ac | D>0:2점 / D=0:접함 / D<0:안만남 |